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## Homework Statement

Suppose a sequence [itex](f_n)_{n\in\mathbb{N}}[/itex] converges to a limit [itex]f[/itex] in the metric space [itex](C[a,b],d_{\infty})[/itex] (continuous real valued functions on the interval [a,b] with the uniform metric.)

Show that [itex]f_n[/itex] also converges pointwise to [itex]f[/itex]; that is for each [itex]t\in [a,b][/itex] we have [itex]f_n(t)\to f(t)[/itex] in [itex]\mathbb{R}[/itex].

## Homework Equations

Uniform metric: [tex]d_{\infty} (f,g) = \text{max}_{t\in [a,b]} |f(t)-g(t)|[/tex]

## The Attempt at a Solution

[itex]f_n \to f[/itex] in [itex](C[a,b],d_{\infty}) \iff d_{\infty}(f_n,f)\to 0[/itex]

[itex]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \iff \text{max}_{t\in [a,b]} |f_n(t)-f(t)| \to 0[/itex]

[itex]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \iff|f_n(t)-f(t)| \to 0[/itex] for all [itex]t\in [a,b][/itex]

[itex]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \iff f_n(t) \to f(t)[/itex] for all [itex]t\in [a,b][/itex]

Does this prove it?

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