Reducing Second Order ODE system to First Order

  • Thread starter makeez
  • Start date
  • #1
4
0

Homework Statement


A 3-storey building can be modelled as a system of coupled masses and springs as showen in attached document. Where mi is the mass of each floor, ki is the spring constant, xi is the displacement of each floor, and ci is the damping coeffcient.


Homework Equations


I understand the equation can be written as:
Mx'' + Cx' + Kx=0

Where:
[PLAIN]http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21M%20%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20m_1%20%26%200%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%20m_2%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20m_3%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%2C%20C%20%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20c_1%20%26%200%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%20c_2%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20c_3%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%2C%20K%20%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20k_1%20%26%20-k_1%20%26%200%20%20%5C%5C%20-k_1%20%26%20k_1%20%2B%20k_2%20%26%20-k_2%20%20%5C%5C%200%20%26%20-k_2%20%26%20k_2%20%2B%20k_3%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D.gif [Broken]

However the form x' = Ax is desired!
Where the matrix A is in terms of the matrices M, C, and K,

This is to be achieved by allowing x4=x'1, x5=x'2, x6=x'3. So reducing a 3x3 matrix of second order ODEs to a 6x6 matrix of first order ODEs.


The Attempt at a Solution


I wrote up the following matix equation based on intuition but I am unsure how to express A in terms of M, C and K.

[PLAIN]http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20m_1%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20m_2%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20m_3%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%5Cvec%7Bx%5E%27%7D%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%200%20%26%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%201%20%5C%5C%20-k_1%20%26%20k_1%20%26%200%20%26%20-c_1%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%20k_1%20%26%20-k_1-k_2%20%26%20k_2%20%26%200%20%26%20-c_2%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20k_2%20%26%20-k_2-k_3%20%26%200%20%26%200%20%26%20-c_3%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%5Cvec%7Bx%7D.gif [Broken]
 

Attachments

Last edited by a moderator:

Answers and Replies

Related Threads on Reducing Second Order ODE system to First Order

Replies
3
Views
820
Replies
2
Views
2K
Replies
6
Views
2K
Replies
2
Views
3K
  • Last Post
Replies
14
Views
2K
  • Last Post
Replies
2
Views
1K
  • Last Post
Replies
3
Views
881
  • Last Post
Replies
1
Views
2K
Replies
8
Views
763
Top