Parabolic Problems: Weak Formulation & Solution Verification

[Feynman]

Let the parabolic problem:
$$\displaystyle\left\{<br /> \newline\begin{array}{ccc}<br /> \newline\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u= f_{0}& \Omega_{T}=\Omega\times ]0,T[\\ <br /> \newline\frac{\partial{u}}{\partial n}=f_{1}& \Gamma_{T}=\partial\Omega\times ]0,T[ \\ <br /> \newline u(.,0)=u_{0}& \Omega \end{array}\right.$$

Then the weak formulation of this problem is :$$\displaystyle\left\{<br /> \newline\begin{array}{ccc}<br /> \newline Trouver & u\in L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))\cap C(0,T;L^{2}(\Omega))\\ <br /> \newline\int_{0}^{T}[a(u(t),v)\phi(t)-(u(t),v)\phi^{,}(t)]dt=(u_{0},v)\phi(0) +\int_{0}^{T}(f_{0}(t),v)\phi(t) dt\\ <br /> \newline + \int_{0}^{T}<f_{1}(t),v>_{H^{-\frac{1}{2}},H^{\frac{1}{2}}}\phi(t)dt&\forall\phi\inD([0,T[)et\forallv\in H^{1}(\Omega)\end{array}\right.<br /> and \displaystyle (h,g)= \int_{Omega} h(x)g(x) dx and \displaystyle a(u,v)=(\nabla u,\nabla v).$$
So how prof that this weak problem have a solution? and u verify .$$(1)_{1} and (1)_{3}.$$
u verify .$$(1)_{3}.$$?
Merci

 

[Feynman]

so? i need help

 

[M98Ranger]

pour votre question. Pour prouver que ce problème faible a une solution, il faut montrer que l'opérateur $a(u,v)$ est coercif et que le terme $f_0$ est dans l'espace dual de $H^{-1}(\Omega)$. Cela garantira l'existence et l'unicité de la solution dans l'espace $L^2(0,T;H^1(\Omega))$.

Pour prouver que $u$ vérifie les conditions (1)$_1$ et (1)$_3$, il faut montrer que $u(.,0)=u_0$ et $\frac{\partial u}{\partial n}=f_1$. Cela peut être fait en utilisant les propriétés des espaces fonctionnels et en montrant que ces conditions sont satisfaites par la solution trouvée dans l'espace $L^2(0,T;H^1(\Omega))$.

Enfin, pour vérifier que $u$ vérifie la condition (1)$_3$, il faut montrer que $\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=f_0$ dans le sens des distributions. Cela peut être fait en utilisant la définition de la dérivée dans le sens des distributions et en montrant que l'équation est satisfaite pour toute fonction test $\phi \in D([0,T[)$.