The expression $\cos^7 x+\cos^7 \left( x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$ can be simplified to $\dfrac{63}{64} \cos 3x$ using complex numbers and the binomial theorem. The variables $\lambda = e^{ix}$ and $\omega = e^{2\pi i/3}$ are utilized to express cosine terms in a manageable form. The final result is confirmed as $(1-2^{-6})\cos(3x)$, demonstrating the effectiveness of the power reduction formula and symmetry in trigonometric functions.
PREREQUISITESMathematicians, physics students, and anyone interested in advanced trigonometric identities and their applications in complex analysis and polynomial expansions.
[sp]This is best done using complex numbers. Let $\lambda = e^{ix}$, $\omega = e^{2\pi i/3}$. Then $\cos x = \frac12(\lambda + \lambda^{-1})$, $\cos \left( x+\frac{2 \pi}{3} \right) = \frac12(\lambda\omega + \lambda^{-1}\omega^{-1})$, $\cos \left( x+\frac{4 \pi}{3} \right) = \frac12(\lambda\omega^2 + \lambda^{-1}\omega^{-2})$, and $$ \cos^7 x+\cos^7 \left( x+\tfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\tfrac{4 \pi}{3} \right) = 2^{-7}\bigl((\lambda + \lambda^{-1})^7 + (\lambda\omega + \lambda^{-1}\omega^{-1})^7 + (\lambda\omega^2 + \lambda^{-1}\omega^{-2})^7\bigr).$$ Now expand by the binomial theorem and use the facts that $\omega^3=1$ and $1+\omega+\omega^2=0$: $$\begin{aligned} \cos^7 x+\cos^7 \left( x+\tfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\tfrac{4 \pi}{3} \right) &= 2^{-7}\bigl(\lambda^7(1+\omega^7+\omega^{14}) + 7\lambda^5(1+\omega^5+\omega^{10}) + 21\lambda^3(1+\omega^3+\omega^6) + 28\lambda(1+\omega+\omega^2)\bigr. \\ & \qquad {} + \bigl.28\lambda^{-1}(1+\omega^{-1}+\omega^{-2}) + 21\lambda^{-3}(1+\omega^{-3}+\omega^{-6}) + 7\lambda^{-5}(1+\omega^{-5}+\omega^{-10}) + \lambda^{-7}(1+\omega^{-7}+\omega^{-14})\bigr) \\ &= 2^{-7}\bigl((\lambda^{7} + \lambda^{-7})(1+\omega+\omega^2) + 7(\lambda^{5} + \lambda^{-5})(1+\omega+\omega^2) \\ & \qquad {} + 21(\lambda^{3} + \lambda^{-3})(1+1+1) + 28(\lambda + \lambda^{-1})(1+\omega+\omega^2)\bigr) \\ &= 2^{-7}\cdot21\cdot3(\lambda^{3} + \lambda^{-3}) = \frac{63}{2^6}\cos(3x). \end{aligned}$$ Thus the answer is $(1-2^{-6})\cos(3x).$[/sp]anemone said:Express $\cos^7 x+\cos^7 \left( x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$ in terms of $\cos 3x$.
anemone said:Thank you again Opalg for participating! I think we used the pretty same approach, because the coefficients of the terms that we have in our methods are all the same.
My solution:
According to the power reduction formula, we have
$\cos^7 x=\dfrac{35\cos x+21\cos 3x+7\cos5x+\cos7x}{64}$
hence
$\cos^7 \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)=\dfrac{35\cos \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+21\cos 3\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+7\cos5\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos7\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)}{64}$
$\cos^7 \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=\dfrac{35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)+21\cos 3\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)+7\cos5\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)+\cos7\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)}{64}$
Notice that
$35\cos x+35\cos \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=35\left( \cos x+\cos \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right) \right)+35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35\left( 2 \cos \left(\dfrac{ \pi}{3} \right) \cos \left( x+\dfrac{ \pi}{3} \right) \right)+35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35 \cos \left( x+\dfrac{ \pi}{3} \right) +35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35 \left( \cos \left( x+\dfrac{ \pi}{3} \right) +\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35 \left( 2\cos \left( \dfrac{ \pi}{2} \right) \cos \left(x+\dfrac{5 \pi}{6} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0$
Similarly,
$21\cos 3x+21\cos 3\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+21\cos 3\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=21\cos 3x+21\cos (3x+2 \pi)+21\cos (3x+2 \pi)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=21\cos 3x+21\cos 3x+21\cos 3x$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=63\cos 3x$
$7\cos5x+7\cos5\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+7\cos5\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=7\left( \cos 5x+\cos 5\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right) \right)+7\cos 5\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7\left( 2 \cos \left(\dfrac{ 5\pi}{3} \right) \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) \right)+7\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7 \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) +7\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7 \left( \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) +\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7 \left( 2\cos \left( \dfrac{ 5\pi}{2} \right) \cos \left(5x+\dfrac{25 \pi}{6} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0$
and finally
$\cos7x+\cos7\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos7\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=\left( \cos 7x+\cos 7\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right) \right)+\cos 7\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left( 2 \cos \left(\dfrac{ 7\pi}{3} \right) \cos \left( 7x+\dfrac{ 7\pi}{3} \right) \right)+\cos \left(7x+\dfrac{28 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) +7\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left( \cos \left( 7x+\dfrac{ 7\pi}{3} \right) +\cos \left(7x+\dfrac{28 \pi}{3} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2 \left( 2\cos \left( \dfrac{ 21\pi}{2} \right) \cos \left(7x+\dfrac{35 \pi}{6} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0$
Therefore
$\cos^7 x+\cos^7 \left( x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=0+\dfrac{63 \cos 3x}{64}+0+0=\dfrac{63 \cos 3x}{64}$
kaliprasad said:1st step to decompose $cos ^7x$ as sum of cos x , cos 3x terms etc is good
using cos x + cos $( x+\dfrac{2 \pi}{3}$ ) + cos $( x+\dfrac{4 \pi}{3} $) = 0 for 5x and 7x can be made as zero
as cos 5 $( x+\dfrac{2 \pi}{3} $) = cos $( 5 x+\dfrac{4 \pi}{3} $) so on and all terms except 3x can be made zero. this reduces number of steps
anemone said:I should have thought of this earlier so that that would save me all the trouble struggling with the latex!
\begin{align}...\end{align}mathbalarka said:One way of aligning the equation is to use
to save your time.Code:\begin{align}...\end{align}