MHB Solve the Equation involving $4^{\sqrt{log_2 x}}$

[anemone]

Find the real solution to the equation $4^{\sqrt{log_2 x}} \cdot 4^{\sqrt{log_2 \tiny \dfrac{y}{2}}}\cdot 4^{\sqrt{log_2 \tiny \dfrac{z}{4}}}\cdot 4^{\sqrt{log_2 \tiny \dfrac{t}{2}}}=xyzt$.

 

[Gavran]

$4 ^ \sqrt { \log_2 x } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac y 2 } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac z 4 } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac t 2 } = x y z t$

$( a , b , c , d ) \in \{ ( e , f , g , h ) | ( e , f , g , h ) \in \mathbb R ^ 4 \wedge e \cdot f \cdot g \cdot h = 1 \}$

$4 ^ \sqrt { \log_2 x } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac y 2 } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac z 4 } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac t 2 } = a b c d \cdot x y z t$
$4 ^ \sqrt { \log_2 x } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac y 2 } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac z 4 } \cdot 4 ^ \sqrt { \log_2 \frac t 2 } = a x \cdot b y \cdot c z \cdot d t$

$4 ^ \sqrt { \log_2 x } = a x$
$\sqrt { \log_2 x } \cdot \log_2 4 = \log_2 ( a x )$
$2 \sqrt { \log_2 x } = \log_2 a + \log_2 x$
$\log_2 x - 2 \sqrt { \log_2 x } + \log_2 a = 0$
$\sqrt { \log_2 x } = \frac { 2 \pm \sqrt { 4 – 4 \log_2 a } } { 2 }$
$\sqrt { \log_2 x } = 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 a }$
$\log_2 x = 1 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 a } + 1 - \log_2 a$
$x = 2 ^ { 2 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 a } - \log_2 a }$
$x = \frac 1 a \cdot 4 ^ { 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 a } } \wedge 0 \lt a \leq 2$

$4 ^ \sqrt { \log_2 \frac y 2 } = b y$
$\sqrt { \log_2 \frac y 2 } \cdot \log_2 4 = \log_2 ( b y )$
$2 \sqrt { \log_2 \frac y 2 } = \log_2 b + \log_2 y$
$\log_2 y - 2 \sqrt { \log_2 \frac y 2 } + \log_2 b = 0$
$y_1 = \frac y 2$
$\log_2 y_1 - 2 \sqrt { \log_2 y_1 } + \log_2 ( 2 b ) = 0$
$\sqrt { \log_2 y_1 } = \frac { 2 \pm \sqrt { 4 – 4 \log_2 ( 2 b ) } } { 2 }$
$\sqrt { \log_2 y_1 } = 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 b ) }$
$\log_2 y_1 = 1 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 b ) } + 1 - \log_2 ( 2 b )$
$y_1 = 2 ^ { 2 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 b ) } - \log_2 ( 2 b ) }$
$y_1 = \frac { 1 } { 2 b } \cdot 4 ^ { 1 \pm \sqrt {1 – \log_2 ( 2 b ) } }$
$y = \frac 1 b \cdot 4 ^ { 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 b ) } } \wedge 0 \lt b \leq 1$

$4 ^ \sqrt { \log_2 \frac z 4 } = c z$
$\sqrt { \log_2 \frac z 4 } \cdot \log_2 4 = \log_2 ( c z )$
$2 \sqrt { \log_2 \frac z 4 } = \log_2 c + \log_2 z$
$\log_2 z - 2 \sqrt { \log_2 \frac z 4 } + \log_2 c = 0$
$z_1 = \frac z 4$
$\log_2 z_1 - 2 \sqrt { \log_2 z_1 } + \log_2 ( 4 c ) = 0$
$\sqrt { \log_2 z_1 } = \frac { 2 \pm \sqrt { 4 – 4 \log_2 ( 4 c ) } } { 2 }$
$\sqrt { \log_2 z_1 } = 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 ( 4 c ) }$
$\log_2 z_1 = 1 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 ( 4 c ) } + 1 - \log_2 ( 4 c )$
$z_1 = 2 ^ { 2 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 ( 4 c ) } - \log_2 ( 4 c ) }$
$z_1 = \frac { 1 } { 4 c } \cdot 4 ^ { 1 \pm \sqrt {1 – \log_2 ( 4 c ) } }$
$z = \frac 1 c \cdot 4 ^ { 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 ( 4 c ) } } \wedge 0 \lt c \leq \frac 1 2$

$4 ^ \sqrt { \log_2 \frac t 2 } = d t$
$\sqrt { \log_2 \frac t 2 } \cdot \log_2 4 = \log_2 ( d t )$
$2 \sqrt { \log_2 \frac t 2 } = \log_2 d + \log_2 t$
$\log_2 t - 2 \sqrt { \log_2 \frac t 2 } + \log_2 d = 0$
$t_1 = \frac t 2$
$\log_2 t_1 - 2 \sqrt { \log_2 t_1 } + \log_2 ( 2 d ) = 0$
$\sqrt { \log_2 t_1 } = \frac { 2 \pm \sqrt { 4 – 4 \log_2 ( 2 d ) } } { 2 }$
$\sqrt { \log_2 t_1 } = 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 d ) }$
$\log_2 t_1 = 1 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 d ) } + 1 - \log_2 ( 2 d )$
$t_1 = 2 ^ { 2 \pm 2 \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 d ) } - \log_2 ( 2 d ) }$
$t_1 = \frac { 1 } { 2 d } \cdot 4 ^ { 1 \pm \sqrt {1 – \log_2 ( 2 d ) } }$
$t = \frac 1 d \cdot 4 ^ { 1 \pm \sqrt { 1 – \log_2 ( 2 d ) } } \wedge 0 \lt d \leq 1$

$( 0 \lt a \leq 2 \wedge 0 \lt b \leq 1 \wedge 0 \lt c \leq \frac 1 2 \wedge 0 \lt d \leq 1 ) \Rightarrow 0 \lt a \cdot b \cdot c \cdot d \leq 1$
$a \cdot b \cdot c \cdot d = 1 \Rightarrow (a = 2 \wedge b = 1 \wedge c = \frac 1 2 \wedge d = 1) \Rightarrow x = 2 \wedge y = 4 \wedge z = 8 \wedge t = 4$