The connection in Loop Quantum Gravity

[lethe]

Originally posted by chroot
Can you put down your guard then? I'm not challenging your superiority.
[...] but I wish you would be a little less severe.

wow, chroot, the tables sure have turned over here. time was, all you did was tell people that they are ignorant, and don t understand anything. getting some of your own medicine, eh?

 

[chroot]

lethe,

hehehe, well, I'd rather have people who know more than me call me stupid here than to waste my time looking at Mac's pasta pot over there. And I've been reprimanded a few times for being an arrogant **** on here too. :)

- Warren

 

[thermonuclear]

I'm not sure that placing here post in spanish is a good idea. But, anyway, marcus, you've copied here the wrong post of Sauron. The correct one is an attempt to explain very precisely the emergence of the Ashtekar formulation from GR as basic knowledge to start with LQG discussions, and it is placed two post below in the forum where you found the other one. Since it it contains also some mathematical formulation I'll add it here for completeness.


----Begin----
Desafortunadamente ahora no tengo a mano el libro dónde mejor explicado esta el tema, pero de todas formas voy a intentarlo.


Veamos; hay tres puntos clave:

1. El formalismo ADM con el slicing habitual del espacio teimpor. Por fijar notación escribiré algunas fórmulas básicas que no dudo conoces:

ds^2 = N^2dt^2 + qij(dx + Ndt)(dx[j] + N[j]dt)

N: Fución de lapso; qij:la 3-métrica de cada slice ; Uso los [] para indicar supraíndices

Si se expresa la acción de Einstein en términos de Nij y la curvatura extrínseca Kij obtenemos a partir del lagrangiano que los momenots canónicos son:

PIij=@L/@(@tqij))= 1/16PiG (q)^1/2 (K[ij] - q[ij]K)

@:derivada parcial; K[ij] curvatura extrínseca PI: letra griega pi, momento asociado (claro)

El resto de la teoría se que la conoces así que me salto escribir la forma explicita del hamiltoniano y las constraints. Más adelante habrá algunas matizaciones.


2. El formalismo del vielbein:

Imagino que también lo conocerás, de todas forma por lo miso, fijar notación hago una pequeña introducción que además tiene algún aspecto relevante.


Este formalismo (tambien conocido cómo el de la tétradad9 fué introducido por Elie Cartán. Entre otras cosas permite introducir fermiones en la relatividad general, algo muy útl, pero aquí no haré hincapié en ese aspecto.

La tétrada Eu, o vielbein, es (así le gusta decir a la gente) una especie de raiz cuadrada la métrica (en realidad es un sistema de referencia ortonormal, bueno algo así), las ecs que cumple son:

g[uv]=EuEu[j]=η[ij] ηij=EuEv[j]=guv


η= métrica de Lorentz.

Asociada al vielbein esta la conexión de spin:

Wuj que cumple Wij=Ev[Eu[v] ;j (Aquí la ; indica derivación parcial en j, es un convenico standard que confio conozcas, el baile del índice elevad entre una y otra fórmula se debe a que estoy usando varias referencias (una básica y otras de apoyo), pero no veo mayor problema en pasar de una a otra convención por ti mismo

Esta conexión juega el mismo papel que la conexión de levi-civitá.

En el formalismo de la tétrada hay una opción iteresante, el considerar la conexión, y no la métrica cómo el campo básico que describe la gravitación, formalemnete esto quiere decir que aplicamos el principio de mínima acción a este campo y no a la métrica. Es este detalle el que permite que en LQG haya la posibilidad de tenr gij=0, es decir, que no haya espacio, mientras que en le formalismo normal la ausencia de gravedad indica que tenemos η cómo vacio.

A partir de W se puede construir una curvatura R (omito ínidces, w tiene 3, R 4). y el correspondiente lagrangiano , análgo al de Einstein.


Ahora you emepzamos a dejar resultados standar y emepzamos a ir a la LQG, para ellos recordar el concepto de dual de un tensor:

F[*]ij=-i/2εij[kl]F[kl] (ε=tensor completamente antisimétrico de Levi-civitá)


(Es importante de que con esta definiciónnos introducimos en el reino de los números complejo)

Bien, pués introducimos el duál de la conexión de spin, lo denotamos Au[ij]. Asociado a este tensor de conexión complejo hay una curvatura compleja Fuv[ij]. Obviamente se puede escribir el lagrangiano de einstein en término d estas cantidades.

No es casualidad que se denoten A y F estas cantidades pués esa es la notación estandard en Yang-Mills.


3. Variables de Ashtekar-Sen:


Aquí viene el punto que peor se aclara en la referencia que estoy usando, pero más o menos creo que se entiende.

Es importante de que no detallé mucho a cómo se introducía la conexión, bien, si no me falla mucho la memoria de cuando estudie esos temas en los libros de mates (fibrados y demás cosas espeluznantes9 esa conexión se puede asociar con un grupo, el grupo de la fibre bundle.

El caso es que aquí pasamos a trabajar en un slice tipo ADM.
por tanto tenemos una 3-variedad, y con esa 3 variedad construimos un fibrado. ¿Que grupo tiene ese fibrado?, pués el grupo de invarianzas locales. Puesto que estamos en el slice uqe estamos ese grupo es el SO(3), Si no trabajaramos con el slice tendríamos una 4-variedady el grupo sería SO(3,1) (Correspondencia al la invarianza lorentz local).


Sé que se puede inrtroducir el tema del grupo sin mencinar los fibrados, pero ahora no recuerdo dónde puedo mirar los detalles. El trabajo original de Asthekar se mete en muchos detalles sin recurrir a fibrados, pero lo he leido muy por encima.


En todo caso simplemente estamos en que la conexión refleja la invarianza local que es SO(3), trasnsformaciones ortogonales galieansas de toda la vida.

Bieeen, esta disgresión es toda mía y hablo de memoria, ahora seguimos con datos más fiables.

SO(3) tiene de grupo recubirdor SU(2), así que you hemos llegado a puerto. Lo que queda es fácil.


Hagamos un pequeño cambio de notación, ahora denoto el viebein con minúscula y reservo la E mayúscula para nuestros nuevos campos.


Ej=(q)1/2ej (q es la 3 métrica contraida qi).

Introducimos un nuevo campo dependiente de la conexión A:

Ai[j]=ε[0ijk]Aijk

La notación es sugerente, E será una especie de campo electrico y A el potencial vector.

Hemos usado SO(3), es posible erfectamente usar SU(2) y representaciones espinoriales, entonces las definiciones de E y A varian un pelín, pero en el fondo es lo mismo.

Es interesante darse cuenta de que A es deual de la conexión de la conexión original, y que por tanto estamos en el C y no en R, por tanto nuestro SO(3) sería una versión compleja del habitual. Pero las cantidades físicas son reales, nocomplejas y luego hay que imponer condicones de realidad a posteriori.


Bueno, you tenemos nuestros campos, la acción en función de ellos es.


I=Int{ iAi[j]@tEj - iA0jG[j] + iNVi -1/2(N/q^1/2)S}

Int{..} denota integración y tal. G,V y S son las constraints (ligaduras).


a) G[j]=DiE[ij]
b) Vi=E[j]lFij[l]
c) S=... (Una larga expresión que omito)

Aquí Di denota derivación covariante respecto a la conexión que tenemos.

G es análoga a la ley de gauss y V y S son análogas a las ligaduras de momenot y hamiltonianas del formalismo ADM.


Lo interesante es que ahora todas las ligaduras son polinómicas en los camos, en contraste con le caso ADm en que no lo on. Por tanto son más sencillas de resolver.


Existe la poibilidad de expresar estas ligaduras usando la curvatura extrínseca, la conexión W será proporcinal a esta curvatura extrínseca, ahí tambi´ne se introduce una conexión para el slice y se forma un campo A a partir de estas dos cantidades (hay un parámetro libre, el parmámetro de iramizzi).


Bueno, hasta aquí la conexión de Asthekar-Sen.

Unos comentarios de despedidad.

Con esa conexión se construyen los "wilson loops" correspondientes.

Por construcción esto deriva en campos que autmoáticamente satisfacen la "ley de Gauss".

Además poseen estos campos construidos a traves de los wilson loops algunas invarianzas gauge extra.

Es factible calcular el efecto de los campos E y A (cuantizados, y por tanto transformados en operadores) sobre estos campos.

Por tanto es posible calcular el efecto de estas ligaduras sobre los campos que forman la representción. Las ligaduras se convierten en ecuaciones algebraicas en vez de ecs. diferenciales y los métodos de algebras de Lie ayudan a resolverlas.


En concreto la V se puede resolver más o menos razonablemente.

Otro aspecto, you aprovecho, es que el área clásica se puede definir en términos de esstos campos, por tanto al cuantizar se convierte en un operador y se puede demostrar que ese operador tiene un espectro discreto. De ahí sale el famoso resultado que conceta la LQG con la teoría de DSR de Amelio Camelia.


También del operador área sale la obtención del contaje de microestados de un agujero negro compatibles con el área clásica. El problema es que no es un resultado que se obtenga de un hamiltoniano, sí que no es un resultado deducido de 1os ppios.


En fín, la LQg no es un tema demasiado sencilo y no afirmo no haber cometido algún error, máxime cuando you ha pasado un mes desde que hice mi primer ataque a la teoría. Ahora estoy en una fase dereposo, y dedicado a otras actividades, volve´re a hacer un ataque a la LQG cuando haya ido meidtanod poco a poco los que he visto.


Espero que te haya servido de algo todo esto y que más o menos responda el aspecto que te ineresaba.
----End----

 

[marcus]

reply to thermonuclear

I am glad you pasted that post in. I believe I missed it. it seems to agree closely with papers I have been reading and to be
clear and efficient.

A couple of paragraphs from the end he uses an abbreviation for "from first principles" which I never saw before namely "de 1os ppios."

"También del operador área sale la obtención del contaje de microestados de un agujero negro compatibles con el área clásica. El problema es que no es un resultado que se obtenga de un hamiltoniano, sí que no es un resultado deducido de 1os ppios. "

It is fun to figure out what some technical expressions in Spanish mean----like "agujero negro" is black hole.
this would be a generally valuable summary for everybody here if it were in English (and easier for me to read too! my Spanish just barely suffices to let me get thru it)

Sauron has frequently mentioned DSR (doubly special relativity) and the relation to LQR. I wish someone would summarize that in an equally clear concise way---but hopefully in english.

Here is what he says about Amelio Camelia this time.
He mentions the discrete spectrum of the area operator in LQG
which is sort of a landmark and apparently forms the connection to DSR. Is this correct?


"Otro aspecto, you aprovecho, es que el área clásica se puede definir en términos de esstos campos, por tanto al cuantizar se convierte en un operador y se puede demostrar que ese operador tiene un espectro discreto. De ahí sale el famoso resultado que conceta la LQG con la teoría de DSR de Amelio Camelia."

yeah, thanks for posting this of Sauron!

 

[thermonuclear]

I'm afraid I can give only some hints about that, which you might already know. The inherent discretness of spacetime in LQG leads to a deformation of the dispersion relations, e.g. E^2 = p^2 + m^2 + f(E). How these arise exactly is obscure for me and I believe there are several posibilities which were already postulated. The rest of the stuff is trivial if you know something about DSR: A deformation of the dispersion relation does not (necessarily) imply a violation of the relativity principle if one postulates an additional universal constant for the Plank regime (e.g. the Plank lenght). So, new Lorentz transformations might be found.