- #1
makeez
- 4
- 0
Homework Statement
A 3-storey building can be modeled as a system of coupled masses and springs as showen in attached document. Where mi is the mass of each floor, ki is the spring constant, xi is the displacement of each floor, and ci is the damping coeffcient.
Homework Equations
I understand the equation can be written as:
Mx'' + Cx' + Kx=0
Where:
[PLAIN]http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21M%20%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20m_1%20%26%200%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%20m_2%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20m_3%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%2C%20C%20%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20c_1%20%26%200%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%20c_2%20%26%200%20%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20c_3%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%2C%20K%20%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20k_1%20%26%20-k_1%20%26%200%20%20%5C%5C%20-k_1%20%26%20k_1%20%2B%20k_2%20%26%20-k_2%20%20%5C%5C%200%20%26%20-k_2%20%26%20k_2%20%2B%20k_3%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D.gif
However the form x' = Ax is desired!
Where the matrix A is in terms of the matrices M, C, and K,
This is to be achieved by allowing x4=x'1, x5=x'2, x6=x'3. So reducing a 3x3 matrix of second order ODEs to a 6x6 matrix of first order ODEs.
The Attempt at a Solution
I wrote up the following matix equation based on intuition but I am unsure how to express A in terms of M, C and K.
[PLAIN]http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20m_1%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20m_2%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20m_3%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%5Cvec%7Bx%5E%27%7D%3D%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%200%20%26%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%201%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%201%20%5C%5C%20-k_1%20%26%20k_1%20%26%200%20%26%20-c_1%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%20k_1%20%26%20-k_1-k_2%20%26%20k_2%20%26%200%20%26%20-c_2%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20k_2%20%26%20-k_2-k_3%20%26%200%20%26%200%20%26%20-c_3%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%5Cvec%7Bx%7D.gif
Attachments
Last edited by a moderator: