Finding Max Mean Value of Function F: Integral Solution

[rugos]

I need to find the maximum mean value of the function
F=\int\left|\alpha^{''}(f)\right|^{2}df

I thought i could get an answer finding a constant K to normalize the function so as

K\int\left|\alpha^{''}(f)\right|^{2}df=1

The boundaries could be f_{1} and f_{2}

as \alpha=1-\left|R\right|^{2} i tried to find first the second derivative like this:

\frac{d\alpha}{df}=-2\left|R\right|\frac{d\left|R\right|}{df}

\frac{d^{2}\alpha}{df}=-2\left[\frac{d\left|R\right|}{df}*\frac{d\left|R\right|}{df}+\left|R\right|\frac{d^{2}\left|R\right|}{df}\right]

\frac{d^{2}\alpha}{df}=-2\left[\left|\frac{d\left|R\right|}{df}\right|^{2}+\left|R\right|\frac{d^{2}\left|R\right|}{df}\right]

but know, replacing that into the integral seems harder.

so how can i find the normalization constant and solve the integral?

 

[usnabi]

Esto basicamente de puede resolver de dos maneras dependiendo de lo que te sirva como resultado. De esta manera la solucion podra ser analitica es decir

El valor medio de una funcion F entre f1 y f2 esta dado por (1/(f2-f1)) por la integral entre (f1:f2) de F con respecto a f o la que sea la variable independiente de interes.

me queda la duda que significa a", si es o no la segunda derivada de alfa con respecto al tiempo o con respecto a que variable independiente es.

Sea como sea tendrias que derivar alfa dos veces con respecto a esa variable luego calcular el valor absoluto y elavear al cuadrado para luego integrala con respecto a f. Eso te da com resultado F. Posteriormente tendrias que volver a calcular la integral de F con respecto a f y multiplica por (1/(f2-f1)).

tambien se puede resolver numericamente, en pseudocodigo de MATLAB seria

Fmean_max= max((1/(f2-f1))*trapz(trapz(abs(alfa")^2)));


donde

alfa" es la segunda derivada de alfa con respecto a la variable

si me das informacion acerca de alfa y de la variable con que se debe derivar


no se si aun te sirve esta informacion disculpa si no te escribi antes

Saludos

juan

 

[usnabi]

o sea

Fmean_max= max((1/(f2-f1))*trapz(trapz(abs(diff(diff(alfa)))^2));