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carlo
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Homework Statement
Hi to everyone! I would like you to help me for a problem of classical electrodynamics. I have to study the relativistic motion of a charged particle in a coulombian field with center in the origin of the cartesian axes. I have to study the case in which the initial velocity is purely radial.
Can anyone give me some advices, or links where I can find this problem performed?
Thank you very much!
C.
Homework Equations
The Attempt at a Solution
I'm sorry,but I have only the .tex version...if you can compile it...
{}
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{0mm}{10mm}{0mm}{10mm}
\begin{document}
\section{Secondo esercizio}
\vspace{1cm}
\Large{\bfseries{TESTO}}
Considerare il moto (relativistico) di una particella carica in un campo coulombiano con centro nell'origine del sistema di riferimento. Studiare il caso in cui la velocità iniziale della particella è puramente radiale. Calcolare la legge oraria del moto. Illustrare il moto con grafici per diverse condizioni iniziali significative.
\vspace{1cm}
\Large{\bfseries{SVOLGIMENTO}}
\vspace{0.5cm}
Utilizziamo per lo svolgimento dell'esercizio il formalismo di Hamilton-Jacobi. L'Hamiltoniana relativistica del sistema in esame è:
\begin{equation}
\epsilon = \sqrt{c^{2}p^{2} + m^{2}c^{4}} + \frac{\alpha}{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf p}=m\gamma{\bf v}
\end{equation}
\begin{itemize}
\item $\alpha > 0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ $campo repulsivo
\item $\alpha < 0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ $campo attrattivo
\end{itemize}
Essendo la forza centrale, il moto avviene su un piano, e il momento angolare $p_{\varphi}$ viene conservato; infatti, se $\frac{d{\bf p}}{dt} = \frac{\alpha}{r^{2}}{\bf r}$ si ha:
\vspace{5mm}
$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\alpha}{r^{2}}{\bf r} \times {\bf r} \ = \ \frac{d{\bf p}}{dt} \times {\bf r} = 0 \\[2mm]
{\bf p}\times \frac{d{\bf r}}{dt} \ =\ {\bf p}\times {\bf v}\ =\ 0
\end{array}\right.
$
\vspace{5mm}
e quindi\ $\frac{d}{dt}({\bf r}\times {\bf p})=0$.
Scegliamo un sistema di riferimento in coordinate polari, \\
$
\left\{\begin{array}{l}
x=r\cos\varphi \\[2mm]
y = r\sin\varphi
\end{array}\right.
$
\begin{equation}
v^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}= \dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\varphi}^{2}
\end{equation}
La lagrangiana relativistica è:
\begin{equation}
\mathcal{L} = -mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}-\frac{\alpha}{r} \ = \ -mc^{2}\sqrt{1-\frac{\dot{r}^{2}}{c^{2}}-\frac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}} -\frac{\alpha}{r}
\end{equation}
I momenti possono essere calcolati facilmente dalla definizione:
\begin{eqnarray}
p_{r} \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{r}}=m\gamma\dot{r}\\
p_{\varphi} \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\varphi}}=m\gamma r^{2}\dot{\varphi}
\end{eqnarray}
Così otteniamo l'energia:
\begin{equation}
\epsilon =c\sqrt{m^{2}\gamma^{2}(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\varphi}^{2} + m^{2}c^{2})} + \frac{\alpha}{r} = \mathcal{H}
\end{equation}
\begin{equation}
\epsilon =c\sqrt{p^{r}_{2}+\frac{M^{2}}{r^{2}}+m^{2}c^{2}}+ \frac{\alpha}{r}
\end{equation}
Nel nostro caso la velocità iniziale è radiale, perciò si ha $M=0$. E' possibile adesso scrivere l'equazione di Hamilton-Jacobi
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial t}+\mathcal{H}\left(r,\varphi,\frac{\partial S}{\partial r},\frac{\partial S}{\partial\varphi}\right)=0
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial t}+c\sqrt{\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial\varphi}\right)^{2}+m^{2}c^{2}}+\frac{\alpha}{r} =0
\end{equation}
$$\left(\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\alpha}{r}\right)^{2}=c^{2}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial\varphi}\right)^{2}+m^{2}c^{2}\right]$$
Poichè in ogni caso $\frac{\partial S}{\partial\varphi}=p_{\varphi}$ è costante, e poichè l'hamiltoniana non dipende direttamente dal tempo, la dipendenza di $S$ da $t$e da $\varphi$ è molto semplice:
\begin{equation}
S=-\epsilon t + M\varphi + f(r)
\end{equation}
$$\left(-\epsilon+\frac{\alpha}{r}\right)^{2} = c^{2}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{2}+\frac{M^{2}}{r^{2}}+m^{2}c^{2}\right]$$
$$\frac{\partial f}{\partial r} = \pm\sqrt{\frac{1}{c^{2}}\left(-\epsilon+\frac{\alpha}{r}\right)^{2} - \frac{M^{2}}{r^{2}}- m^{2}c^{2}}
$$
Quindi, nel nostro caso:
\begin{eqnarray}
f(r)=\pm \int dr \sqrt{\frac{1}{c^{2}}\left(\epsilon - \frac{\alpha}{r}\right)^{2} - m^{2}c^{2}}\\
\Rightarrow S=-\epsilon t \pm \int dr \sqrt{\frac{1}{c^{2}}\left(\epsilon - \frac{\alpha}{r}\right)^{2} - m^{2}c^{2}}
\end{eqnarray}
Adesso si può procedere alla soluzione delle equazioni $\beta_{i}=\frac{\partial S}{\partial\alpha_{i}}= cost$, che nel nostro caso si riducono all'unica equazione:
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial\epsilon} \ =\ -t \pm\int dr\frac{\epsilon - \frac{\alpha}{r}}{\sqrt{\frac{1}{c^{2}}\left(\epsilon - \frac{\alpha}{r}\right)^{2} - m^{2}c^{2}}} \ =\ cost
\end{equation}
Questa equazione può essere risolta utilizzando l'identità:
\begin{equation}
\int dx \frac{1}{\sqrt{ax^{2}+bx +c}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\log\left|2ax + b + 2 \sqrt{a(ax^{2}+bx +c)}\right| + cost
\end{equation}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
